该文章是关于MATH3075作业1的解答，包括单周期市场模型和静态对冲期权两部分。在单周期市场模型中，考虑了一个样本空间为(= {_1, _2, _3})的市场模型(M = (B,S))，通过计算找到了所有鞅测度的类(M)，判断了市场模型是否无套利和是否完备，计算了特定或有债权的复制策略和套利价格，并检查了另一个或有债权是否可在该模型中实现，还找到了其套利价格的范围，最后证明了存在一种对冲比率使得财富在时间1严格支配该或有债权的支付。在静态对冲期权部分，考虑了一个参数化的或有债权族，给出了其在时间(T)的支付表达式，分析了其支付作为(S_T)的函数的特征，并找到了用标准看涨和看跌期权的支付来分解它的方式，计算了在不同情况下该或有债权在时间(t = 0)的套利价格，探讨了在任何无套利市场模型中该价格的符号，最后证明了在完全无套利市场模型中，该或有债权在时间(t = 0)的套利价格是变量()的单调函数，并求出了一些极限值。
MATH3075作业1：解答
1. 单周期市场模型[12分]
考虑一个样本空间为(= {_1, _2, _3})的单周期市场模型(M = (B,S))。假设(r = 3)，股票价格(S = (S_0, S_1))满足(S_0 = 5)和(S_1 = (36, 20, 4))。现实世界概率(P)使得(P(_i) = p_i > 0)，对于(i = 1, 2, 3)。
(a) 找到该模型(M)的所有鞅测度的类(M)。该市场模型(M)是否无套利？这个市场模型是否完备？ 回答：[2分]我们需要求解：(q_1 + q_2 + q_3 = 1)，(0 < q_i < 1)并且（因为(1 + r = 4)） [ EQ(S_1) = 36q_1 + 20q_2 + 4q_3 = (1 + r)S_0 = 20 ] 或者，等价地， [ EQ(S_1 – (1 + r)S_0) = 16q_1 – 16q_3 = 0. ] 设(q_2 = )。那么(q_1 = q_3 = )，其中(0 < < 1)。因此 [ M = { (q_1, q_2, q_3) q_1 = q_3 = , q_2 = , 0 < < 1 } ] 市场模型(M)是无套利的，因为(M )。此外，它是不完备的，因为(M)的鞅测度的唯一性不成立。
(b) 找到或有债权(Y = (10, 2, -6))的复制策略，并通过复制计算其在时间0的套利价格(p_{i0}(Y))。 回答：[2分]第一种解法。我们可以使用一个投资组合((x, ) ^2)，并将财富表示为：(V_0(x, ) = x)和 [ V_1(x, ) = (x – S_0)(1 + r) + S_1 = x(1 + r) + (S_1 – S_0(1 + r)) = xB_1 + (S_1 – S_0B_1) ] 然后我们解以下方程组 [
] 从第二个方程，我们得到(p_{i0}(Y) = x = 0.5)，因此从第一个（或最后一个）方程我们得到(= 0.5)。 第二种解法。投资组合(({00}, {10}))的财富过程满足 [ V_0() = _0B_0 + _0S_0, V_1() = _0B_1 + _0S_1. ] 复制一个债权(Y)意味着(V_1()(_i) = Y(_i))，对于(i = 1, 2, 3)。因此，为了找到(Y)的复制策略，我们需要解以下方程组 [
] 我们得到(({00}, {10}) = (-2, 0.5))，因此(p_{i0}(Y) = x = {00}B_0 + {10}S_0 = -2 + 0.5 = 0.5)。 因此，在时间0我们需要购买0.5股股票。为此，在从债权(Y)的买家收到0.5单位现金后，我们需要在货币市场借入两单位现金。
(c) 使用来自类(M)的任意鞅测度(Q)，通过风险中性估值公式重新计算(p_{i0}(Y))。 回答：[2分]对于任何(0 < q_2 = < 1)和(q_1 = q_3 = )，风险中性估值公式对于每个(0 < < 1)产生， [ p_{i0}(Y) = EQ(Y/B_1) = + – 3 = 0.5. ] 正如预期的那样，价格(p_{i0}(Y))不依赖于()，即不依赖于鞅测度的选择。
(d) 检查或有债权(X = (5, 4, -1))在(M)中是否可实现。 回答：[2分]为了找到复制策略，我们需要解以下方程组 [
] 策略((_0, _1) = (, ))是前两个方程的唯一解，但它不满足最后一个方程。因此，在(M)中不存在(X)的复制策略。
(e) 使用模型(M)的所有鞅测度的类(M)，找到(X)的套利价格的范围。 回答：[2分]我们计算与无套利原则一致的(X)的价格范围。我们有 [ p_{i0}(X) = EQ(X/B_1) = + 4- 1 = 0.5(1 + ). ] 因为从(c)部分我们知道((0, 1))，很明显与无套利原则一致的价格(p_{i0}(X))的范围是开区间((0.5, 1))。
**(f) 假设在时间0你以2单位现金出售了债权(X)。证明存在一个对冲比率()，使得在时间1的财富(V_1(2, ))严格支配支付(X)，意味着(V_1(2, )(_i) > X(_i))，对于(i = 1, 2, 3)。** 回答：[2分]只需给出一个初始价值(x = 2)的投资组合((x, ))的例子，使得不等式(V_1(x, )(_i) > X(_i))对于(i = 1, 2, 3)成立。我们可以使用财富在时间(t = 1)的表示 [ V_1(x, ) = (x – S_0)(1 + r) + S_1 = x(1 + r) + (S_1 – S_0(1 + r)) = xB_1 + (S_1 – S_0B_1) ] 因为(x = 2)且(B_1 = 4)，所以(S_0B_1 = 20)，只需找到一个数()，使得以下不等式成立 [
] 例如，我们可以取(= 0.5)。那么投资组合((x, ) = (2, 0.5))在时间(t = 1)的财富等于(V_1(2, 0.5) = (16, 8, 0))，所以很明显(V_1(2, 0.5)(_i) > X(_i))，对于(i = 1, 2, 3)。
2. 用期权进行静态对冲[8分]
考虑一个参数化的或有债权族，其在时间(T)的支付(Y())由以下表达式给出 [ Y() = {, + 2|- S_T| – S_T} ] 其中一个实数(> 0)是固定的，参数()是任意实数，使得()。
(a) 对于任何固定的()，绘制支付(Y())作为(S_T )的函数的轮廓，并找到用到期日为(T)的标准看涨和看跌期权的支付来分解(Y())的方式（不要使用常数支付）。请注意，(Y())的分解可能取决于参数()的值。 回答：[2分]很容易看出，支付(Y())是一个分段线性且连续的函数，它是非负的，并且由()上界。 我们首先考虑()的情况。让我们取(= 1)。那么对于()，我们通过取，例如，(= 4)得到 [
] 我们现在考虑(< 3)的情况。我们再次取(= 1)，并且通过取，例如，(= 2)得到 [
] 很容易看出，对于()，支付(Y())可以表示为 [ Y() = 3P_T() + C_T() – C_T(+ ) ] 而对于(0 < 3)，我们有 [ Y() = 3P_T() – 3P_T(- ) + C_T() – C_T(+ ). ] 请注意，上面的第二个分解在(= 0)时给出(Y() = 0)，并且当(= 3)时，两个分解的(Y())一致。
(b) 假设所有执行价格的看涨和看跌期权在时间0以一些有限的价格进行交易。对于每个()的值，使用在时间0的看涨和看跌期权的价格以及在(a)部分获得的合适分解，计算债权(Y())在时间(t = 0)的套利价格(p_{i0}(Y()))。 回答：[2分]根据套利定价的可加性，我们得到，对于每个(0 )， [ p_{i0}(Y()) = 3P_0() – 3P_0(- ) + C_0() – C_0(+ ) ] 并且，对于每个()， [ p_{i0}(Y()) = 3P_0() + C_0() – C_0(+ ). ] 特别是，我们从(1)中推断出，当(= 0)时，(p_{i0}(Y()) = 0)，这是显而易见的，因为当(= 0)时，(Y() = 0)。
(c) 对于任何(> 0)，在任何（不一定完全）无套利市场模型(M = (B,S))中，检查债权(Y())的套利价格的符号。证明你的答案。 回答：[2分]由于支付(Y())对于(S_T)的每个值（除了(S_T = )）都是严格正的，所以在任何无套利市场模型(M = (B,S))中，价格(p_{i0}(Y()))应该是严格正的，因为否则在扩展的市场模型中会出现套利机会。你可以使用这样的论点，即任何或有债权(X)的价格范围与当(Q)在模型(M)的所有鞅测度的类(M)上运行时，期望(EQ(B_T^{-1}X))的取值范围一致。
**(d) 考虑一个在某个有限样本空间()上定义的完全无套利市场模型(M = (B,S))。证明(Y())在时间(t = 0)的套利价格是变量()的单调函数，并找到极限({}p{i0}(Y()))，({}p{i0}(Y